蒙提霍尔问题(二)请问玛丽莲
2020-08-02

    


连结:蒙提霍尔问题(一)决胜21点

回顾 1990 年 9 月 9 日,玛丽莲‧沃斯‧萨万特 (Marilyn vos Savant) 在《缤纷游行》(Parade) 的「请问玛丽莲」专栏中,回答读者提出的三门问题,沃斯‧萨万特是金氏世界纪录最高智商 \(228\) 的人,她认为选择换的胜算比较大。为了说服读者,她请大家想像有 \(1,000,000\) 扇门,她说:

你选择 \(1\) 号门,而主持人知道门后有什幺,他总是避开有奖的那扇门,除了 \(777,777\) 号门外,把别的门都打开了。这时你会毫不犹豫地换到另一扇门,是吧?」

换句话说,如果你选择 \(1\) 号门,只有 \(1/1,000,000\) 的机率猜中,而汽车在其他门后的机率是 \(999,999/1,000,000\)。当主持人打开 \(999,999\) 扇门中的 \(999,998\) 扇门,但绝对不会打开有汽车的那扇,现在拜主持人之赐,\(1\) 号门除外,只剩下的这扇门代表所有 \(999,999\) 扇门的价值,\(999,999/1,000,000\) 的机率全都集中到这一扇门。

沃斯‧萨万特的答案是正确的,以 \(1,000,000\) 扇门为例的想法让人耳目一新,增加门的数量却更能看清问题的处理方式,深具启发性。接着更进一步,我们运用贝氏定理来分析:

蒙提霍尔问题(二)请问玛丽莲

所以,

\(\text{P(赢得新车| 坚持不换门)}=\displaystyle\frac{1/2000,000}{1/2000,000+999,999/2000,000}=\frac{1}{1000,000}\)

\(\text{P(赢得新车| 换门)}=\displaystyle\frac{999,999/2000,000}{1/2000,000+999,999/2000,000}=\frac{999,999}{1000,000}\)

但是,沃斯‧萨万特的回答却引起轩然大波,大多数 \((92\%)\) 的读者认为她是错的,其中有近千位博士写信给她,包括许多数学教授,其中一位教授写道:

你搞砸了!我解释给你听:如果已经知道一扇门是输的,这就改变了选择剩下两扇门的机率–没有任何一扇门会比另一扇门的机率更高,也就是每扇门都是的机会。身为数学家,我对一般大众欠缺数学知识甚感忧心。帮帮忙吧,承认你的错误,未来更谨慎一些。

抨击沃斯‧万特斯的信件不断地寄来,甚至有的语带讽刺地批评:

你在鬼扯!……,这个国家的数学文盲已经够多的了,我们不需要世界上智商最高的人再来帮倒忙。真丢脸!

面对读者的围攻,这一次沃斯‧万特斯用表格完整列出所有可能的结果:

1号门2号门3号门结果(选择1号门且坚持不变)新车山羊

山羊山羊新车

山羊山羊山羊

汽车赢输

输1号门2号门3号门结果(选择1号门然后换门)新车山羊

山羊山羊新车

山羊山羊山羊

汽车输赢

她说这张表显示出:「你若换一扇门,赢的机会是 \(2/3\),而输的机会是 \(1/3\);但是如果你不换门,则赢的机会只有 \(1/3\)。」此一表格充份显现样本空间的威力,也让批评的人后悔不已。

其实,无需任何机率法则的运算,只要反过来想,如果你选择换门,那幺一开始选到山羊才会赢,所以赢的机率是 \(2/3\);如果选择不换门,那幺一开始选中新车才会赢,所以赢的机率是 \(1/3\)。

沃斯‧万特斯被称为「全世界最聪明的人」当之无愧。至于让大多数人都出槌的「蒙提霍尔问题」,葛登能(Mart Gardner)于《科学美国人》中给了最佳的注解:「绝妙又恼人的小问题」、「数学中还没有其他哪个领域,比机率理论更容易令专家出错。」

参考资料:


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